משפט גדל וחשיבותו לפילוסופיה של המתמטיקה

השלכות משפט גדל על תפיסת יסודות המתימטיקה

תוכן עניינים

מבוא 3

ערעור יסודות המתמטיקה ע"י פיתוח הגיאומטריה הלא-אויקלידית 4

הלוגיציזם 7

הפורמליזם 9

משפט גדל 11

השלכות משפט גדל 14

בבליוגרפיה 16

מבוא

למן גילויים של המספרים האי-רציונליים ביוון הקדומה, קיימת ועומדת בעיית היסודות של המתמטיקה. במשך כאלפיים שנה נמצאו פתרונות שונים וכן התגלעו בעיות חדשות לגבי ביסוסה הלוגי של המתמטיקה (Kouneiher, 2018: 21). מתוך שלושת המשברים שידעה המתמטיקה, בעבודה זו אתמקד במשבר אותו עברה במאה ה-19: מערעור יסודות האמת של הגיאומטריה האוקלידית ועד למשפט אי השלמות של גדל.
אפתח בתיאור של יסודות המתמטיקה וערעור אמיתותה עם פיתוח הגיאומטריה הלא אוקלידית, ואמשיך בתיאור הלוגיציזם והפורמליזם, כשתי גישות שניסו לתת שני פתרונות שונים לבעיות העקביות של המתמטיקה, לתחום אותה ולהגדירה מחדש. על רקע זה אתאר את משפט גדל, ואסביר את עיקרי טענותיו ותמצית דרך הוכחתו, ולבסוף אתאר השלכותיו על הפילוסופיה ועל המתמטיקה, תוך סיכום חלקי העבודה הקודמים.